Ensiklopedia

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan . Mohon bantu kami dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya . Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus. Cari sumber: "Diskriminan" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR ( November 2011 )

Dalam matematika , Diskriminan dari polinomial adalah kuantitas yang bergantung pada koefisien dan menentukan berbagai properti dari . Diskriminan polinomial umumnya didefinisikan dalam istilah fungsi polinomial dari koefisiennya. Diskriminan banyak digunakan dalam , teori bilangan , dan geometri aljabar .

Diskriminan ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$ ( ${\displaystyle a\neq 0}$ ), sering dilambangkan dengan simbol ${\displaystyle \Delta }$ , ^{[ 1 ]} adalah:

${\displaystyle b^{2}-4ac,}$

yang bernilai nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki . Dalam kasus koefisien nyata , bernilai positif jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki dua akar nyata yang berbeda. ^{[ 2 ]} Demikian pula untuk sebuah , diskriminannya adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki . Dalam kasus koefisien nyata, diskriminan bernilai positif jika akarnya adalah tiga bilangan real berbeda, dan negatif jika ada satu akar nyata dan dua akar berbeda.

Secara lebih umum, diskriminan polinomial positif adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut berakar banyak. Jika koefisiennya nyata, dan tidak ada akar ganda, diskriminan bernilai positif jika jumlah akar non-nyata adalah kelipatan dari 4 (termasuk nol), dan negatif.

Beberapa generalisasi diskriminan polinomial (univariat) juga disebut diskriminan: ; yang diskriminan dari ; lebih umum, diskriminan dari , .

Istilah "diskriminan" diciptakan pada tahun 1851 oleh matematikawan Inggris . ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

menjadi polinomial n (ini berarti ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ), sedemikian rupa sehingga koefisien ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ milik sebuah bidang , atau, lebih umum, ke . dari A dan ${\displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1}}$ adalah polinomial pada ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ dengan koefisien integer, yang merupakan determinan dari dari A dan A ′ . Entri bukan nol dari kolom pertama dari matriks Sylvester adalah ${\displaystyle a_{n}}$ dan ${\displaystyle na_{n},}$ dan adalah kelipatan dari ${\displaystyle a_{n}.}$ Karenanya, diskriminan — hingga tandanya — didefinisikan sebagai hasil bagi dari resultan dari A dan A' dari ${\displaystyle a_{n}:}$

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')}$

Secara historis, tanda ini telah dipilih sedemikian rupa sehingga, secara keseluruhan, diskriminan akan menjadi positif ketika semua akar polinomial adalah nyata. Pembagian dengan ${\displaystyle a_{n}}$ mungkin tidak terdefinisi dengan baik jika gelanggang dari koefisien berisi . Masalah seperti itu dapat dihindari dengan mengganti ${\displaystyle a_{n}}$ dengan 1 di kolom pertama matriks Sylvester sebelum menghitung determinan. Bagaimanapun, diskriminan adalah polinomial dalam ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$ dengan koefisien bilangan bulat.

Ketika polinomial ditentukan di atas bidang , teorema dasar aljabar menyiratkan bahwa ia memiliki akar n , r ₁ , r ₂ , ..., r _n , tidak harus semuanya berbeda, dalam di lapangan.

(Untuk polinomial dengan koefisien nyata, ekstensi tertutup secara aljabar ini umumnya dipilih sebagai bidang bilangan kompleks .)

Dari segi akar, diskriminan sama dengan

${\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={a_{n}}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}{a_{n}}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j})}$

Jadi, ini adalah kuadrat dari a _n ^{2 n − 2} .

Ekspresi diskriminan ini sering dianggap sebagai definisi. Jelas bahwa jika polinomial memiliki , maka diskriminannya adalah nol, dan jika semua akarnya nyata dan sederhana, maka diskriminan itu positif.

Diskriminan dari (derajat 1) jarang dipertimbangkan. Jika diperlukan, biasanya didefinisikan sama dengan 1 (menggunakan konvensi biasa untuk dan mempertimbangkan bahwa salah satu dari dua blok adalah ). Tidak ada ketentuan umum untuk diskriminan polinomial konstan (yaitu polinom dengan derajat 0).

Untuk derajat kecil, diskriminan agak sederhana (lihat di bawah), tetapi untuk derajat yang lebih tinggi, ini mungkin menjadi berat. Misalnya, diskriminan dari sebuah kuartik memiliki 16 suku, ^{[ 4 ]} that of a has 59 terms, ^{[ 5 ]} dan dari memiliki 246 suku. ^{[ 6 ]} This is OEIS sequence A007878 .

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$ memiliki diskriminan

${\displaystyle b^{2}-4ac\,.}$

Akar kuadrat diskriminan muncul di rumus kuadrat untuk akar polinomial kuadrat:

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

di mana diskriminan adalah nol jika dan hanya jika kedua akar sama. Jika a , b , c adalah bilangan real , polinomial memiliki dua akar nyata yang berbeda jika diskriminannya positif, dan dua akar jika negatif. ^{[ 7 ]}

Diskriminan adalah hasil kali dari a ² dan kuadrat dari selisih akar.

Jika a , b , c adalah bilangan rasional , maka diskriminannya adalah kuadrat dari bilangan rasional, jika dan hanya jika keduanya akar adalah bilangan rasional.

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$ memiliki diskriminan

${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}$

Secara khusus, polinomial ${\displaystyle x^{3}+px+q}$ memiliki diskriminan

${\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}$

Diskriminan menjadi nol jika dan hanya jika setidaknya dua akar sama. Jika koefisiennya adalah bilangan riil , dan diskriminannya bukan nol, diskriminan bernilai positif jika akarnya adalah tiga bilangan real berbeda, dan negatif jika ada satu akar nyata dan dua akar . ^{[ 8 ]}

Akar kuadrat dari hasil kali diskriminan oleh −3 (dan mungkin juga dengan kuadrat dari bilangan rasional ) muncul dalam rumus untuk akar polinomial kubik.

Jika polinomial tidak dapat direduksi dan koefisiennya adalah bilangan rasional (atau termasuk dalam bidang bilangan ), maka diskriminan adalah kuadrat dari bilangan rasional (atau bilangan dari bidang bilangan) jika dan hanya jika dari persamaan kubik adalah grup siklik berorde tiga.

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$ memiliki diskriminan

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&{}-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&{}+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&{}-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\,.\end{aligned}}}$

Diskriminan menjadi nol jika dan hanya jika dua atau lebih akar sama. Jika koefisiennya adalah bilangan riil dan diskriminannya negatif, lalu ada dua akar nyata dan dua akar . Begitu pula, jika diskriminannya positif, maka akarnya bisa semua nyata atau semua tidak nyata.

Diskriminan polinomial di atas bidang adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki banyak akar di beberapa ekstensi bidang .

Diskriminan polinomial pada domain integral adalah nol, jika dan hanya jika polinomial tersebut dan memiliki pembagi persekutuan non-konstan.

Dalam 0, ini setara dengan mengatakan bahwa polinomialnya bukan (yaitu habis dibagi kuadrat dari polinomial tidak konstan).

Dalam karakteristik bukan nol p , diskriminannya adalah nol jika dan hanya jika polinomial tersebut tidak bebas kuadrat atau memiliki yang tidak dapat dipisahkan (yaitu, faktor yang tidak dapat direduksi adalah polinom dalam ${\displaystyle x^{p}}$ ).

• Wolfram Mathworld: Polynomial Discriminant
• Planetmath: Discriminant