
Dalam matematika , faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.
Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima )
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmatika dan teori bilangan .
Definisi
Suatu bilangan disebut faktor persekutuan bilangan dan jika habis membagi bilangan dan sekaligus.
Suatu bilangan disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika: [ 1 ]
- faktor persekutuan bilangan dan ; dan
- jika faktor persekutuan bilangan dan maka berlaku
bilangan ditulis sebagai [ 2 ] atau . [ 1 ]
Peristilahan
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar, [ 3 ] atau pembagi bersama terbesar , [ 4 ] dilambangkan dengan . Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi , berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor . [ 5 ]
Contoh
- Faktor dari adalah
- Faktor dari adalah
Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan .
Perhitungan FPB
Faktorisasi prima
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor
diperoleh dan . Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, .
Algoritma Euklides
Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan dan adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:
1. masukkan nilai a dan b; 2. misalkan u:=a dan v:=b; 3. selama u ≠ v, ulangi u = maximum (u,v) - minimum (u,v) v = minimum (u,v); 4. FPB(a,b)=u;
Sifat
Untuk sebarang bilangan bulat , dengan adalah nilai multak dari , berlaku:
- Sifat komutatif , yaitu .
- Sifat asosiatif , yaitu .
- Sifat distributif , yaitu
- Jika faktor persekutuan dan , maka , dan , sehingga jika maka
- Untuk sebarang bilangan bulat positif , jika dan hanya jika habis membagi .
Koprima
Dua buah bilangan dikatakan koprima , atau relatif prima , atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1. [ 6 ]
Penerapan
Menyederhanakan pecahan
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. [ 7 ] Sebagai contoh, pecahan dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari dan adalah . Kita tuliskan sebagai
- .
Kelipatan persekutuan terkecil
Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut.
. [ 8 ]
Lihat pula
Rujukan
- ^ a b Sukirman (2016). Teori Bilangan . Tangerang Selatan: Universitas Terbuka. ISBN 978-602-392-047-1 .
- ^ Kawan Tanding Olimpiade Matematika - A . Bandung: Tim KTO Matematika. 2023.
- ^ Achmad Arifin (2000). Aljabar . Bandung: Penerbit ITB. ISBN 979-9299-13-6 .
- ^ Wono Setya Budhi (2006). Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika . Jakarta: Ricardo. ISBN 979-98175-0-1 .
- ^ Eka Susilowati (2017). Teori Bilangan . Yogyakarta: Matematika.
- ^ Weisstein, Eric W. "Greatest Common Divisor" . mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-04-06 . Diakses tanggal 2021-11-20 .
- ^ "Greatest Common Factor" . www.mathsisfun.com . Diarsipkan dari versi asli tanggal 2005-10-29 . Diakses tanggal 2021-11-21 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple" . mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 2023-05-16 . Diakses tanggal 2021-11-21 .