Ensiklopedia

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Summation di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat , karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan . (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel )

Dalam matematika, notasi Sigma adalah penjumlahan dari suatu urutan bilangan apa pun, hasilnya adalah jumlah atau total mereka. Selain bilangan, tipe nilai lainnya dapat dijumlahkan juga: fungsi , vektor , matriks , polinomial dan, secara umum, anggota dari semua jenis objek matematika di mana operasi yang dilambangkan "+" didiefinisikan.

Penjumlahan tak hingga disebut deret tak hingga . Mereka melibatkan konsep limit , dan tidak dipertimbangkan dalam artikel ini.

Penjumlahan dari urutan eksplisit dilambangkan sebagai suksesi penambahan. Sebagai contoh, penjumlahan ${\displaystyle [1,2,4,2]}$ dilambangkan ${\displaystyle 1+2+4+2}$ , dan menghasilkan ${\displaystyle 9}$ , yaitu, ${\displaystyle 1+2+4+2=9}$ . Karena penambahan bersifat asosiatif dan komutatif , maka tidak perlu tanda kurung, dan hasilnya tidak tergantung pada urutan puncak. Penjumlahan dari urutan hanya satu elemen menghasilkan elemen ini sendiri. Penjumlahan dari urutan kosong (urutan dengan elemen nol) hasil, dengan konvensi, dalam 0.

Sangat sering, elemen-elemen dari suatu urutan didefinisikan, melalui pola reguler, sebagai fungsi tempat mereka dalam urutan. Untuk pola sederhana, penjumlahan dari deretan panjang dapat direpresentasikan dengan sebagian besar penjumlahan digantikan oleh elips. Sebagai contoh, penjumlahan dari 100 bilangan asli pertama dapat ditulis ${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots +99+100}$ . Jika tidak, penjumlahan dinotasikan dengan menggunakan notasi Σ, di mana ${\displaystyle \sum }$ adalah huruf Yunani Sigma yang diperbesar. Sebagai contoh, jumlah bilangan bulat ${\displaystyle n}$ alami pertama dilambangkan ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i}$ .

Untuk penjumlahan panjang, dan penjumlahan dari panjang variabel (didefinisikan dengan elips atau notasi Σ), itu adalah masalah umum untuk menemukan untuk hasilnya. Sebagai contoh,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$ .

Meskipun rumus seperti itu tidak selalu ada, banyak rumus penjumlahan telah ditemukan. Beberapa yang paling umum dan dasar tercantum dalam artikel ini.

Notasi matematis menggunakan simbol yang secara ringkas mewakili penjumlahan dari banyak istilah yang serupa: simbol penjumlahan, ${\displaystyle \sum }$ , bentuk diperbesar dari huruf Yunani tegak huruf Yunani Sigma. Ini didefinisikan sebagai:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

Dimana ${\displaystyle i}$ adalah indeks penjumlahan; ${\displaystyle a_{i}}$ adalah variabel yang diindeks yang mewakili setiap istilah dari jumlah; ${\displaystyle m}$ adalah batas bawah penjumlahan, dan ${\displaystyle n}$ adalah batas atas penjumlahan. " ${\displaystyle i=m}$ " di bawah simbol penjumlahan berarti bahwa indeks saya mulai sama dengan ${\displaystyle m}$ . Indeks, ${\displaystyle i}$ , bertambah satu untuk setiap istilah berturut-turut, berhenti ketika ${\displaystyle i=n}$ .

Ini dibaca "penjumlahan pada ${\displaystyle a_{i}}$ dari ${\displaystyle i=m}$ ke ${\displaystyle n}$ ".

Berikut adalah contoh yang menunjukkan penjumlahan kuadrat :

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}$ .

Penulisan informal terkadang menghilangkan definisi indeks dan batasan penjumlahan ketika ini jelas dari konteksnya, seperti pada:

${\displaystyle \sum a_{i}=\sum _{i=m}^{n}a_{i}}$

Kita sering melihat generalisasi dari notasi ini di mana suatu kondisi logis sebarang disediakan, dan jumlah tersebut dimaksudkan untuk diambil alih semua nilai yang memenuhi kondisi tersebut. Berikut ini beberapa contoh umum:

${\displaystyle \sum _{0<k\leq 100}f(k)}$

adalah jumlah pada ${\displaystyle f(k)}$ untuk seluruh bilangan bulat ${\displaystyle k}$ dalam rentang yang ditentukan,

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)}$

adalah jumlah pada ${\displaystyle f(x)}$ , untuk seluruh anggota ${\displaystyle x}$ pada himpunan ${\displaystyle S}$ .

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)}$

adalah jumlah pada ${\displaystyle \mu (d)}$ , untuk seluruh bilangan bulat positif ${\displaystyle d}$ membagi ${\displaystyle n}$ .

Ada juga cara untuk menggeneralisasi penggunaan banyak notasi Sigma. Sebagai contoh,

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

Ini sama saja dengan

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}}$ .

Notasi yang sama diterapkan ketika datang untuk menunjukkan produk dari suatu urutan, yang mirip dengan notasi Sigma, tetapi yang menggunakan operasi perkalian alih-alih penambahan (dan memberikan 1 untuk urutan kosong, bukan 0). Struktur dasar yang sama digunakan, dengan ${\displaystyle \prod }$ , adalah huruf kapital Pi Yunani , menggantikan ${\displaystyle \sum }$ .

Dimungkinkan untuk menjumlahkan kurang dari 2 angka:

• Jika penjumlahan memiliki satu penjumlahan ${\displaystyle x}$ , maka jumlah yang dievaluasi adalah ${\displaystyle x}$ .
• Jika penjumlahan tidak memiliki penjumlahan, maka jumlah yang dievaluasi adalah nol , karena nol adalah identitas tambahan. Ini dikenal sebagai jumlah kosong .

Penjumlahan dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0,\ {\textrm {jika}}\ a>b}$ .

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i),\ {\textrm {jika}}\ b\geq a}$

Dalam notasi teori ukuran dan integrasi , jumlah dapat dinyatakan sebagai integral tentu ,

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\ d\mu }$

di mana ${\displaystyle [a,b]}$ adalah himpunan bagian bilangan bulat dari ${\displaystyle a}$ ke ${\displaystyle b}$ , dan di mana ${\displaystyle \mu }$ adalah .

Diberikan fungsi ${\displaystyle f}$ yang didefinisikan atas bilangan bulat dalam interval ${\displaystyle [m,n]}$ , kita memiliki:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}[f(i+1)-f(i)]}$

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f^{\prime }(x)\ dx}$ ,

dimana:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

adalah turunan dari fungsi ${\displaystyle f}$ .

Contoh penerapan persamaan di atas adalah:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right)}$

Dengan menggunakan teorema binomial , ini ditulis ulang sebagai:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}{\binom {k}{j}}x^{j}\right)}$ .

Rumus di atas lebih umum digunakan untuk membalik dari ${\displaystyle \Delta }$ yang didefinisikan oleh

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n)}$

Dimana ${\displaystyle f}$ adalah fungsi yang didefinisikan pada bilangan bulat tidak negatif. Jadi, mengingat fungsi ${\displaystyle f}$ seperti itu, masalahnya adalah menghitung antiselisih dari ${\displaystyle f}$ , yaitu fungsi ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$ sedemikian rupa sehingga ${\displaystyle \Delta F=f}$ , yaitu, ${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n)}$ . Fungsi ini didefinisikan hingga penambahan konstanta, dan dapat dipilih sebagai:

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i)}$

Tidak selalu ada untuk penjumlahan tersebut, tetapi menyediakan formulir tertutup dalam kasus ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$ dan, dengan untuk setiap fungsi polinomial ${\displaystyle n}$ .

Banyaknya aproksimasi semacam itu dapat diperoleh dengan koneksi berikut antara notasi Sigma dan integral , yang berlaku untuk semua:

Peningkatan fungsi ${\displaystyle f}$

. ${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds}$

Penurunan fungsi ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds}$

Untuk perkiraan yang lebih umum, lihat .

Untuk penjumlahan di mana penjumlahan diberikan (atau dapat diinterpolasi) oleh fungsi indeks yang dapat di integrasi kan, penjumlahan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai jumlah Riemann yang terjadi dalam integral tentu yang sesuai.

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx}$ .

karena sisi kanan adalah definisi batas untuk ${\displaystyle n\to \infty }$ dari sisi kiri. Namun, untuk penjumlahan tertentu ${\displaystyle n}$ diperbaiki, dan sedikit yang bisa dikatakan tentang kesalahan dalam perkiraan di atas tanpa asumsi tambahan tentang ${\displaystyle f}$ : jelas bahwa untuk fungsi berosilasi liar, jumlah Riemann dapat secara sebarang jauh dari integral Riemann .

Rumus di bawah ini melibatkan jumlah terbatas; untuk penjumlahan tak terhingga atau penjumlahan terhingga pada ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri atau fungsi transendental lainnya, lihat .

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$ , ( distributif )

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)\pm g(n)\right]\quad }$ , ( asosiatif dan komutatif )

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s\pm p}^{t\pm p}f(n\mp p)}$ , (pergeseran indeks)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))}$ , untuk bijeksi ${\displaystyle \sigma }$ dari himpunan terbatas ${\displaystyle A}$ ke himpunan ${\displaystyle B}$ (perubahan indeks); ini menggeneralisasi formula sebelumnya.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)}$ , (memecahkan jumlah, menggunakan sifat asosiatif ).

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)}$ , (varian dari rumus sebelumnya).

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)}$ , (jumlah dari istilah pertama hingga yang terakhir sama dengan jumlah dari yang terakhir hingga yang pertama).

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)}$ , (kasus rumus tertentu di atas).

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}}$ , ( asosiatif dan komutatif )

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}}$ , (penerapan pada asosiatif dan komutatif )

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)}$ , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks genap)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)}$ , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks ganjil)

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}}$ , ( distributif )

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)}$ , ( distributif yang memungkinkan faktorisasi )

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)}$ , ( logaritma suatu produk adalah jumlah dari faktor-faktor logaritma)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}}$ , ( eksponensial dari jumlah adalah produk dari eksponensial pada penjumlahan)

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }}$ , untuk setiap ${\displaystyle c}$ yang tidak bergantung pada ${\displaystyle i}$ .

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }}$ , (jumlah dari perkembangan aritmetika yang paling sederhana, terdiri dari ${\displaystyle n}$ bilangan asli pertama)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[2i-1]=n^{2}}$ , (jumlah bilangan asli ganjil pertama).

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}[2i]=n(n+1)}$ , (jumlah bilangan asli genap pertama).

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!}$ , (jumlah dari logaritma adalah logaritma produk)

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }}$ , (jumlah kuadrat pertama, lihat )

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }}$ , ( Teorema Nicomachus )

Lebih umum, terdapat ,

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1}}}$

Dimana ${\displaystyle B_{k}}$ melambangkan bilangan Bernoulli , dan ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$ adalah .

Dalam penjumlahan berikut, ${\displaystyle a}$ diasumsikan berbeda dari ${\displaystyle 1}$ .

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$ , (jumlah pada sebuah deret geometri )

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}}$ , (kasus spesial untuk ${\displaystyle a={\frac {1}{2}}}$ )

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}}$ , ( ${\displaystyle a}$ dikali turunan terhadap ${\displaystyle a}$ pada deret geometri)

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}}$ , (jumlah pada sebuah )

Artikel Utama:

Ada sangat banyak penjumlahan identitas yang melibatkan koefisien binomial (seluruh bab dikhususkan hanya untuk teknik dasar). Beberapa yang paling mendasar adalah sebagai berikut.

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n}}}$ , teorema binomial

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}}$ , kasus spesial untuk ${\displaystyle a=b=1}$ .

${\displaystyle }{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$ , kasusu spesial dimana ${\displaystyle p=a=1-b}$ , dimana ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ , mengekspresikan jumlah pada distribusi binomial .

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1})}}$ , nilai ketika ${\displaystyle a=b=1}$ pada turunan terhadap ${\displaystyle a}$ pada teorema binomial .

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}}}$ , nilai ketika ${\displaystyle a=b=1}$ pada antiturunan terhadap ${\displaystyle a}$ pada teorema binomial .

Dalam penjumlahan berikut, ${\displaystyle _{n}P_{k}}$ adalah jumlah permutasi ${\displaystyle k}$ dari ${\displaystyle n}$ .

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}}$ , dimana ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ menyatakan .

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=0}^{m}\left({\begin{array}{c}n+k\\n\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}n+m+1\\n+1\\\end{array}}\right)}}$

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}}$

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}}$

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}}$

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}}$ , (itu adalah ${\displaystyle n}$ )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}}$ , (itu adalah ${\displaystyle n}$ )

Berikut ini adalah yang berguna (menggunakan notasi theta ):c

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$ , untuk bilangan real ${\displaystyle c}$ lebih besar daripada ${\displaystyle -1}$ .

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}}$ , lihat .

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$ , untuk bilangan real ${\displaystyle c}$ lebih besar daripada ${\displaystyle 1}$ .

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$ , untuk bilangan real non-negatif ${\displaystyle c}$ .

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$ , untuk bilangan real non-negatif ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ .

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$ , untuk bilangan real non-negatif ${\displaystyle b>1}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ .

• Notasi Einstein
• Produk (matematika)

1. ^ Untuk penjelas, lihat .
2. ^ Untuk penjelas terinci pada notasi Sigma dan Aritmetika dengan penjumlahan, lihat Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (PDF) (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029 . ^{[ permanent dead link ]}
3. ^ Meskipun nama tidak masalah (menurut definisi), orang biasanya menggunakan huruf dari tengah alfabet ( ${\displaystyle i}$ melalui ${\displaystyle q}$ ) untuk menunjukkan bilangan bulat, jika ada risiko kebingungan. Sebagai contoh, bahkan jika seharusnya tidak ada keraguan tentang interpretasi, itu bisa terlihat sedikit membingungkan bagi banyak matematikawan untuk melihat ${\displaystyle x}$ daripada ${\displaystyle k}$ dalam rumus di atas yang melibatkan. Lihat juga .

1. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics , Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1

• Matematika SMA dan MA jilid 3B untuk Kelas XII Semester II Program IPA . Sri Kurnianingsih. Jakarta: Esis. 2007. ISBN 978-979-015-297-7 . Parameter |couauthors= yang tidak diketahui akan diabaikan ( bantuan ); Parameter |first1= tanpa |last1= di Authors list ( bantuan )