Ensiklopedia

Dalam matematika, rata-rata geometrik , rata-rata ukur atau purata geometrik ^{[ 3 ]} ( bahasa Inggris : geometric mean ) adalah rata-rata yang menunjukkan ukuran pemusatan data atau nilai khusus dari himpunan bilangan dengan menggunakan darab dari nilai-nilainya (kebalikan dengan rata-rata aritmetika yang menggunakan penjumlahan). Rata-rata geometrik didefinisikan sebagai akar ke- n dari darab n bilangan, dalam artian, untuk himpunan dari bilangan x ₁ , x ₂ , ..., x _n , rata-rata geometrik didefinisikan sebagai

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

atau sama dengan rata-rata aritmetika dalam skala logaritmik :

${\displaystyle \exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}}$

Sebagai contoh, rata-rata geometrik dari dua bilangan, katakanlah 2 dan 8, hanya sama dengan akar kuadrat dari hasil kalinya, dalam artian, ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$ . Contoh lainnya, rata-rata geometrik dari tiga bilangan 4 , 1, dan 1/32 sama dengan akar kubik dari darabnya, yaitu 1/2, dalam artian, ${\textstyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}}$ . Rata-rata geometrik berlaku untuk bilangan positif saja. ^{[ 4 ]}

Rata-rata geometrik acapkali dipakai untuk himpunan data yang nilai-nilainya dimaksud untuk dikalikan atau merupakan sifat eksponensial, seperti himpunan dari angka pertumbuhan: nilai-nilai dari populasi manusia atau laju bunga dari investasi finansial secara perlahan. Rata-rata geometrik berlaku pula dalam menghitung tolok ukur , yang sangat berguna dalam menghitung rata-rata dari : karena rata-rata kecepatan 0,5x dan 2x bernilai 1 (dalam artian, tidak ada speedup secara keseluruhan).

Rata-rata geometrik dapat dipahami pada konteks geometri . Rata-rata geometrik dari dua bilangan ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ merupakan panjang dari satu sisi persegi yang luasnya sama dengan luas persegi panjang dengan sisi ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ . Mirip dengan sebelumnya, rata-rata geometrik dari tiga bilangan ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , dan ${\displaystyle c}$ merupakan panjang dari satu sisi kubus yang volumenya sama dengan volume balok dengan sisinya yang sama dengan tiga bilangan tadi.

Rata-rata geometri merupakan salah satu dari tiga klasik, di antaranya rata-rata aritmetika dan . Untuk semua himpunan data positif yang mengandung setidaknya satu pasangan dari nilai yang tidak sama, rata-rata harmonik selalu lebih kecil dari ketiga rata-rata tersebut, sedangan rata-rata lebih besar dari ketiganya dan rata-rata geometrik berada di antaranya (lihat .)

1. ^ Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu, and Stacey Luong "On Compass and Straightedge Constructions: Means" (PDF) . UNIVERSITY of WASHINGTON, DEPARTMENT OF MATHEMATICS. 2013 . Diakses tanggal 14 June 2018 .
2. ^ "Euclid, Book VI, Proposition 13" . David E. Joyce, Clark University. 2013 . Diakses tanggal 19 July 2019 .
3. ^ Kerami, Djati; Sitanggang, Cormentyna. Glosarium Matematika, Pusat Bahasa Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 (PDF) . hlm. 110. ISBN 978-979-685-756-2 . Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan ( bantuan )
4. ^ Rata-rata geometrik hanya berlaku untuk bilangan dari tanda yang sama. Hal ini bertujuan untuk menghindari akar dari darab bernilai negatif, yang mengakibatkan hasilnya adalah bilangan imajiner , serta pula memenuhi syarat terkait sifat-sifat tentang rata-rata. Definisi terlihat tampak jelas jika 0 dimungkinkan (yang menghasilkan rata-rata geometri bernilai 0), tetapi dapat dikecualikan, karena perhitungannya seringkali mengambil logaritma dari rata-rata geometrik (untuk mengubah operasi perkalian dengan penambahan), dan logartima dari 0 tak dapat diambil.