Ensiklopedia

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan . Mohon bantu kami dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya . Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus. Cari sumber: "Subgrup" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR ( Juni 2009 )

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi Homomorfisme grup kernel bayangan sederhana hingga aditif siklik dihedral nilpoten Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik Teorema Lagrange Teorema Sylow grup-p Grup simetrik ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {V} }$ Grup dihedral ${\displaystyle \mathrm {D} _{n}}$ Grup kuaternion ${\displaystyle \mathrm {Q} }$ Grup disiklik ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}$
Bilangan bulat ( ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) Grup bebas ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$
dan Grup Lie ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {E} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$ ${\displaystyle O(\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}$
Kurva eliptik
l b

Di teori grup , cabang matematika , diberi grup G di bawah operasi biner ∗, himpunan bagian H dari G disebut subgrup dari G jika H juga membentuk grup di bawah operasi ∗. Lebih tepatnya, H adalah subgrup dari G jika restriksi dari ∗ ke H × H adalah operasi grup di H . Ini biasanya dilambangkan H ≤ G , dibaca sebagai " H adalah subgrup dari G ".

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = { ah : h in H }. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH diberikan pada φ( h ) = ah adalah bijeksi . Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a ₁ ~ a ₂ jika dan hanya jika a ₁ ⁻¹ a ₂ ada di H . Jumlah koset kiri H disebut dari H dalam G dan dilambangkan dengan [ G : H ].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H ,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

dimana | G | dan | H | menunjukkan dari G dan H , masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G ) harus berupa pembagi dari | G |. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Maka G jadikan grup siklik ke Z ₈ maka hasil elemen

${\displaystyle G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}}$

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan . adalah

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J ={0,4} and H ={0,2,4,6} , dimana J juga merupakan subgrup dari H . Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik , dan juga subgrupnya.

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z ₂ . These small subgroups are not counted in the following list.

All 30 subgroups Simplified of the of S 4

1. ^ Melihat sebuah didactic proof in this video .
2. ^ S., Dummit, David (2004). Abstract algebra . Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. hlm. 90. ISBN 9780471452348 . OCLC 248917264 .

• (2009), Basic algebra , 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
• (1974), Algebra (edisi ke-1st), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181 .
• Artin, Michael (2011), Algebra (edisi ke-2nd), Prentice Hall, ISBN 9780132413770 .
• S., Dummit, David (2004). Abstract algebra . Foote, Richard M., 1950- (edisi ke-3.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348 . OCLC 248917264 .