Ensiklopedia

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Direct sum di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat , karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan . (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel )

Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan . Mohon bantu kami dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya . Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus. Cari sumber: "Jumlah langsung" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR ( December 2013 )

Dalam aljabar abstrak , jumlah langsung adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung ${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$ , dimana ${\displaystyle \mathbf {R} }$ adalah , adalah , ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ . Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, grup abelian . Jumlah langsung dari dua grup abelian ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ adalah grup abelian lainnya ${\displaystyle A\oplus B}$ terdiri dari urutan pasangan ${\displaystyle (a,b)}$ , dimana ${\displaystyle a\in A}$ dan ${\displaystyle b\in B}$ . (Secara membingungkan, pasangan terurut ini juga disebut hasilkali kartesian dari dua grup.) Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ sebagai ${\displaystyle (a+c,b+d)}$ ; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk jumlah langsung dari dua struktur aljabar , seperti gelanggang , modul , dan ruang vektor .

Kita juga dapat membentuk penjumlahan langsung dengan jumlah penjumlahan yang terbatas, misalnya ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$ , diberikan ${\displaystyle A,B,}$ dan ${\displaystyle C}$ adalah jenis struktur aljabar yang sama (yaitu, semua grup, gelanggang, ruang vektor, dll.). Ini bergantung pada fakta bahwa penjumlahan langsungnya adalah asosiatif isomorfisme , ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ untuk struktur aljabar ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , dan ${\displaystyle C}$ dari jenis yang sama. Jumlah langsung juga komutatif hingga isomorfisme, yaitu ${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$ . untuk struktur aljabar apa pun ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ dari jenis yang sama.

Dalam kasus dua penjumlahan, atau suatu jumlah terhingga, jumlah langsungnya sama dengan . Jika operasi aritmetika ditulis sebagai ${\displaystyle +}$ , seperti biasanya di grup abelian, lalu kita pakai penjumlahan langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai × atau ⋅ atau menggunakan penjajaran (seperti dalam ekspresi ${\displaystyle xy}$ ) kita menggunakan hasilkali langsung.

Dalam kasus di mana banyak objek digabungkan, kebanyakan penulis membuat perbedaan antara jumlah langsung dan hasilkali langsung. Sebagai contoh, perhatikan jumlah langsung dan hasilkali langsung dari tak hingga. Unsur dalam hasilkali langsung adalah urutan tak hingga, seperti ${\displaystyle (1,2,3,\dots )}$ tetapi dalam jumlah langsung, akan ada persyaratan bahwa semua kecuali banyak koordinat menjadi nol, sehingga urutan ${\displaystyle (1,2,3,\dots )}$ akan menjadi elemen hasilkali langsung tetapi bukan dari jumlah langsung, sementara ${\displaystyle (1,2,0,0,0,\dots )}$ akan menjadi elemen keduanya. Secara lebih umum, jika tanda + digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus nol, sedangkan jika beberapa bentuk perkalian digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus 1. Dalam bahasa yang lebih teknis, jika ringkasannya adalah ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ , jumlah langsung ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ didefinisikan sebagai himpunan tupel ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ dengan ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ seperti yang ${\displaystyle a_{i}=0}$ untuk semua kecuali i . Jumlah langsung ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ terkandung dalam hasilkali langsung ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ , tetapi biasanya sangat lebih kecil jika ${\displaystyle I}$ tidak terbatas, karena hasilkali langsung tidak memiliki batasan bahwa semua kecuali banyak koordinat harus nol. ^{[ 1 ]}

Bidang ${\displaystyle xy}$ , sebuah ruang vektor dua dimensi, dapat dianggap sebagai penjumlahan langsung dari dua ruang vektor satu dimensi, yaitu sumbu x dan y . Dalam penjumlahan langsung ini, sumbu ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ hanya berpotongan di titik asal (vektor nol). Penambahan didefinisikan secara koordinat, yaitu ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$ , yang sama dengan penjumlahan vektor.

Diberikan dua struktur ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ , jumlah langsungnya ditulis sebagai ${\displaystyle A\oplus B}$ . Diberikan struktur ${\displaystyle A_{i}}$ , diindeks dengan ${\displaystyle i\in I}$ , jumlah langsung dapat ditulis ${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ . Pada A _i disebut penjumlahan langsung dari ${\displaystyle A}$ . Jika kumpulan indeks terhingga, jumlah langsungnya sama dengan hasilkali langsung. Dalam kasus grup, jika operasi grup ditulis sebagai ${\displaystyle +}$ frasa "jumlah langsung" digunakan, sedangkan jika operasi grup ditulis ${\displaystyle *}$ frasa "hasilkali langsung" digunakan. Ketika himpunan indeks takhingga, jumlah langsung tidak sama dengan hasilkali langsung karena jumlah langsung memiliki persyaratan tambahan bahwa semuanya.

Perbedaan dibuat antara jumlah langsung internal dan eksternal, meskipun keduanya isomorfik. Jika faktor ditentukan terlebih dahulu, dan kemudian jumlah langsungnya ditentukan dalam faktor, kita memiliki jumlah. Misalnya, jika kita mendefinisikan bilangan real ${\displaystyle \mathbf {R} }$ dan kemudian tentukan ${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$ jumlah langsung dikatakan eksternal.

Sebaliknya, jika kita mendefinisikan beberapa struktur aljabar terlebih dahulu ${\displaystyle S}$ dan kemudian tulis ${\displaystyle S}$ sebagai penjumlahan langsung dari dua substruktur ${\displaystyle V}$ dan ${\displaystyle W}$ , maka jumlah langsungnya dikatakan internal. Dalam kasus ini, setiap elemen ${\displaystyle S}$ diekspresikan secara unik sebagai kombinasi aljabar dari elemen ${\displaystyle V}$ dan elemen dari ${\displaystyle W}$ . Untuk contoh jumlah langsung internal, pertimbangkan ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ( bilangan bulat modulo enam), yang elemennya ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ . Ini diekspresikan sebagai jumlah langsung internal ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$ .

^{[ butuh klarifikasi ]}

Jumlah langsung ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ dilengkapi dengan homomorfisme ${\displaystyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ untuk setiap j dalam I dan coprojection ${\displaystyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ untuk setiap j pada I . ^{[ 2 ]} Diberikan struktur aljabar lain ${\displaystyle B}$ (dengan struktur tambahan yang sama) dan homomorfisme ${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$ untuk setiap j di I , ada homomorfisme yang untuk ${\displaystyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ , disebut jumlah dari g _j , seperti ${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$ for semua j . Jadi jumlah langsungnya adalah hasilkali bersama dalam kategori yang sesuai.