Ensiklopedia

Artikel ini sudah memiliki referensi , tetapi tidak disertai kutipan yang cukup . Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. ( Desember 2020 ) ( Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini )

Struktur aljabar
Sejenis grup Grup Semigrup / Monoid Rak dan ganjal Grup semu dan gelung Grup abelian Magma Grup Lie Teori grup
Sejenis gelanggang Gelanggang Semigelanggang Gelanggang dekat Gelanggang komutatif Ranah integral Medan Gelanggang pembagian Teori gelanggang
Sejenis kekisi Kekisi Semikekisi Kekisi dikomplemenkan Urutan total Aljabar Heyting Aljabar boolean Teori kekisi
Sejenis modul Modul Grup dengan operator Ruang vektor Aljabar linear
Sejenis aljabar Aljabar Asosiatif Non-asosiatif Aljabar komposisi Aljabar Lie Bertingkat Bialjabar
l b

Struktur aljabar → Teori gelanggang Teori gelanggang
Konsep dasar Gelanggang • Subgelanggang • Ideal • Gelanggang hasil bagi • • • • • • Kernel • • Struktur aljabar • Modul • Aljabar asosiatif • • • Kategori gelanggang • Gelanggang initial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Struktur terkait • Medan • Medan hingga • • Gelanggang Lie • • Semigelanggang •
Gelanggang komutatif • Ranah integral • • • • • • Medan • Medan hingga • • • Teori bilangan aljabar • Medan bilangan aljabar • • Kebebasan aljabar • Teori bilangan transendental • Teori bilangan dan p -adik • Limit langsung / Limit invers • ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometri aljabar •
• Gelanggang pembagian • • • • Operasi aljabar
l b

Dalam matematika , modul adalah suatu struktur aljabar dasar yang digunakan dalam aljabar abstrak . Modul diatas gelanggang meru generalisasi dari gagasan ruang vektor diatas medan , dimana skalar sesuai apabila elemen dari gelanggang yang diberikan secara sembarang (dengan identitas) dan perkalian (di kiri dan/atau di kanan) didefinisikan antara elemen gelanggang dan elemen modul. Modul mengambil skalar dari gelanggang R disebut modul- R .

Jadi, modul sebagai ruang vektor, adalah aditif grup abelian ; produk didefinisikan antara elemen gelanggang dan elemen modul distributif selama operasi penambahan setiap parameter dan dengan perkalian gelanggang.

Modul sangat erat kaitannya dengan dari grup . Dan juga merupakan salah satu pengertian sentral dan aljabar homologis , dan digunakan secara luas dalam geometri aljabar dan topologi aljabar .

Dalam ruang vektor, himpunan skalar adalah medan dan bekerja pada vektor dengan perkalian skalar, apabila aksioma tertentu seperti hukum distributif . Dalam modul, skalar digunakan gelanggang , jadi konsep modul mewakilan generalisasi yang signifikan. Dalam aljabar komutatif, ideal dan gelanggang hasil bagi adalah modul, sehingga banyak argumen tentang ideal atau gelanggang hasil bagi yang menggabungkan satu argumen tentang modul. Dalam aljabar non-komutatif, perbedaan antara ideal kiri, ideal, dan modul menjadi lebih jelas, meskipun beberapa kondisi teori gelanggang apabila diekspresikan baik tentang ideal kiri atau modul kiri.

Sebagian besar teori modul terdiri dari perluasan sebanyak mungkin properti ruang vektor yang diinginkan ke ranah modul melalui gelanggang, seperti . Namun, modul bisa sedikit lebih rumit daripada ruang vektor; misalnya, tidak semua modul memiliki basis , dan bahkan yang memiliki, , tidak perlu memiliki peringkat unik jika gelanggang yang mendasarinya tidak memenuhi kondisi , tidak seperti ruang vektor, yang selalu memiliki basis (mungkin tak hingga) yang kardinalitasnya kemudian unik. Dua pernyataan terakhir ini membutuhkan aksioma pilihan secara umum, tetapi tidak dalam kasus ruang berdimensi hingga, atau ruang berdimensi tak hingga tertentu yang berperilaku baik seperti .

Misalkan R adalah gelanggang dan 1 adalah identitas perkaliannya. Modul kiri- R pada M yang terdiri dari grup abelian ( M , +) dan operasi ⋅ : R × M → M maka r , s di R dan x , y di M , memiliki:

1. ${\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$
2. ${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$
3. ${\displaystyle (rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}$
4. ${\displaystyle 1\cdot x=x.}$

Pengoperasian gelanggang pada M disebut perkalian skalar , dan biasanya ditulis dengan penjajaran, yaitu sebagai rx untuk r pada R dan x pada M , meskipun dilambangkan sebagai r ⋅ x untuk membedakannya dari operasi perkalian gelanggang, yang dilambangkan dengan penjajaran. Notasi _R M menunjukkan modul kiri- R pada M . Sebuah modul kanan- R pada M atau M _R didefinisikan serupa, kecuali bahwa gelanggang itu bekerja di sebelah kanan; yaitu, perkalian skalar mengambil bentuk ⋅ : M × R → M , dan aksioma atas ditulis dengan skalar r dan s sebelah kanan x dan y .

Penulis yang tidak memerlukan gelanggang menjadi untuk menghilangkan ketentuan 4 atas dalam definisi modul R , dan apabila struktur yang didefinisikan atas "unital kiri R ". Dalam artikel ini, sesuai dengan , semua gelanggang dan modul dianggap tidak sama. ^{[ 1 ]}

• Jika K adalah medan , maka ruang vektor - K (ruang vektor atas K ) dan modul identik- K .
• Jika K adalah medan, dan K [ x ] univariat , maka M adalah modul K dengan aksi tambahan x pada M pada komutatif dengan tindakan K di M . Dengan kata lain, modul K [ x ] adalah ruang vektor K pada M yang dikombinasikan dengan peta linear dari M ke M . Menerapkan pada contoh ini menunjukkan keberadaan dan bentuk .
• Konsep modul Z menyetujui dengan gagasan grup abelian. Artinya, setiap grup abelian adalah modul di atas gelanggang bilangan bulat Z dengan unik. Untuk n > 0 , misal n ⋅ x = x + x + ... + x ( n ), 0 ⋅ x = 0 , dan (− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x ) . Modul tersebut tidak perlu memiliki basis —grup yang berisi . Misalnya, dalam grup bilangan bulat 3, apabila tidak menemukan satu elemenpun yang memenuhi definisi himpunan bebas linear karena ketika sebuah bilangan bulat seperti 3 atau 6 mengalikan sebuah elemen, hasilnya adalah 0. Namun, jika medan hingga sebagai modul atas medan hingga yang sama diambil sebagai gelanggang adalah ruang vektor dan memiliki basis.
• (termasuk yang negatif) dalam bentuk modul atas bilangan bulat. Hanya yang merupakan himpunan bebas linear, tetapi tidak ada tunggal yang dapat digunakan sebagai basis, jadi modul tidak memiliki dasar dan tidak memiliki peringkat.
• Jika R adalah gelanggang sembarang dan n sebuah bilangan asli , maka produk Kartesius R ⁿ adalah modul kiri- R dan kanan atas R jika kita menggunakan komponen-operasi. Oleh karena itu ketika n = 1 , R adalah modul R , dimana perkalian skalar hanyalah perkalian gelanggang. Kasus n = 0 menghasilkan modul R -{0} yang hanya terdiri dari elemen identitas . Modul jenis ini disebut dan jika R memiliki (misalnya gelanggang atau medan komutatif) bilangan n kemudian menjadi peringkat modul bebas.
• Jika M _n ( R ) adalah gelanggang n × n matriks atas gelanggang R , M adalah modul-M _n ( R ), dan e _i adalah matriks n × n dengan 1 entri ( i , i ) (dan nol di tempat), maka e _i M adalah modul- R , karena re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Jadi M dipecah sebagai jumlah langsung dari modul R , M = e ₁ M ⊕ ... ⊕ e _n M . Sebaliknya, diberikan modul- R pada M ₀ , maka M ₀ ^{⊕ n} adalah modul-M _n ( R ). Sebenarnya, kategori modul- R dan kategori dari modul-M _n ( R ) adalah . Kasus khusus adalah bahwa modul M apabila R sebagai modul atasnya, maka R ⁿ adalah modul-M _n ( R ).
• Jika S adalah himpunan tak kosong , M adalah modul kiri- R , dan M ^S adalah himpunan semua fungsi f : S → M , maka dengan penjumlahan dan perkalian skalar dalam M ^S didefinisikan titik demi titik oleh ( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s ) dan ( rf )( s ) = rf ( s ) , M ^S adalah modul kiri- R . Kasus modul- R yang tepat adalah analog. Khususnya, jika R komutatif maka himpunan homomorfisme modul-R h : M → N (lihat di bawah) adalah modul- R (dan sebenarnya adalah submodul dari N ^M ).
• Jika X adalah , maka dari X ke bilangan riil dalam bentuk gelanggang C ^∞ ( X ). Himpunan semua mulus yang didefinisikan pada X dalam bentuk modul atas C ^∞ ( X ), dan begitu juga dan pada X . Lebih umum, bagian dari dalam bentuk atas C ^∞ ( X ), dan dengan , setiap modul proyektif adalah isomorfik pada modul bagian dari beberapa bundel; kategori dari modul C ^∞ ( X ) dan kategori bundel vektor atas X adalah .
• Jika R adalah sembarang gelanggang dan I adalah di R , maka I adalah modul kiri- R , dan ideal kanan secara analog dalam R adalah modul kanan- R .
• Jika R adalah sebuah gelanggang, apabi5 didefinisikan R ^op yang memiliki yang sama dan operasi penjumlahan yang sama, namun perkalian inversnya: jika ab = c pada R , maka ba = c pada R ^op . Setiap modul kiri - R pada M maka dilihat sebagai modul kanan atas R ^op , dan modul kanan atas- R sebagai modul kiri atas R ^op .
• adalah modul (aljabar asosiatif) di atas .
• Jika R dan S adalah gelanggang dengan φ : R → S , maka setiap modul- S pada M adalah modul R dengan mendefinisikan rm = φ ( r ) m . Secara khusus, S sendiri adalah modul- R .

Misalkan M adalah modul- R kiri dan N adalah subgrup dari M . Maka N adalah submodul (atau lebih eksplisit R ) apabila n pada N dan r pada R , produk r ⋅ n adalah N (atau n ⋅ r untuk modul- R .

Jika X adalah himpunan bagian dari modul- R , maka submodul yang direntang oleh X didefinisikan sebagai ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ , dimana N submodul atas dari M yang berisi X , atau secara eksplisit ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$ , yang terpenting dalam definisi adalah produk tensor. ^{[ 2 ]}

Himpunan submodul dari modul tertentu M , bersama dengan dua operasi biner + dan ∩, dalam bentuk sebuah kekisi yang memenuhi : Diberikan submodul U , N ₁ , N ₂ dari M sedemikian rupa sehingga N ₁ ⊂ N ₂ , maka dua submodul berikut ini: ( N ₁ + U ) ∩ N ₂ = N ₁ + ( U ∩ N ₂ ) .

Jika M dan N misal modul R , maka sebuah peta f : M → N adalah jika untuk setiap m , n dalam M dan r , s dalam R ,

${\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)}$ .

Homomorfisme ini objek matematika lainnya, hanyalah pemetaan dengan mempertahankan struktur objek. Nama lain untuk homomorfisme modul R adalah peta linear - R .

Sebuah bijektif modul homomorfisme f : M → N disebut modul isomorfisme , dan dua modul M dan N disebut isomorfik . Dua modul isomorfik identik untuk semua tujuan praktis, hanya berbeda dalam notasi untuk elemennya.

Kernel dari modul homomorfisme f : M → N adalah submodul dari M yang terdiri dari semua elemen urutan ke nol oleh f , dan dari f adalah submodul dari N yang terdiri dari nilai f ( m ) untuk semua elemen m dari M . ^{[ 3 ]} Teorema isomorfisme yang familiar dari grup dan ruang vektor valid untuk modul- R .

Diberikan gelanggang- R , himpunan semua modul kiri- R bersama dengan homomorfisme modul dalam bentuk , dilambangkan dengan Mod - R (lihat kategori modul ).

Terbangkit hingga

Sebuah modul- R pada M adalah apabila jika terdapat elemen x ₁ , ..., x _n dalam M sedemikian rupa sehingga setiap elemen M adalah kombinasi linear elemen tersebut dengan koefisien dari gelanggang R .

Siklik

Sebuah modul disebut jika dihasilkan oleh satu elemen.

Bebas

adalah modul yang memiliki basis, atau ekuivalen diantara isomorfik ke dari salinan gelanggang R . Ini adalah modul perilaku yang mirip dengan ruang vektor.

Proyektif

adalah jumlah langsung modul bebas dan berbagi banyak sifat yang diinginkan.

Injektif

didefinisikan secara ganda untuk modul proyektif.

Rata

Sebuah modul disebut jika mengambil dari modul tersebut dengan dari modul R pertahanan ketepatan.

Tanpa torsi

Sebuah modul disebut jika disematkan ke dual aljabarnya.

Sederhana

Sebuah S adalah modul yang bukan {0} dan submodulnya {0} dan S . Modul sederhana terkadang disebut takreduksi . ^{[ 4 ]}

Semisederhana

adalah penjumlahan langsung (hingga atau tidak) dari modul sederhana. Secara historis modul ini juga disebut "komplekmen ireduksi".

Takdekomposisi

adalah modul bukan nol yang tidak tertulis sebagai dari dua submodul bukan nol. Setiap modul sederhana takdekomposisi, tetapi apabila modul takdekomposisi tak sederhana (mis. ).

Kesesuaian

Sebuah M adalah salah satu dimana tindakan setiap r ≠ 0 dalam R atas M non-trivial (yaitu r ⋅ x ≠ 0 untuk beberapa x dalam M ). Secara ekuivalen, dari M adalah .

Bebas torsi

adalah modul atas gelanggang sehingga 0 adalah satu-satunya elemen annihilator oleh elemen reguler (non ) dari gelanggang, secara ekuivalen ${\displaystyle rm=0}$ mengartikan ${\displaystyle r=0}$ atau ${\displaystyle m=0}$ .

Noetherian

adalah modul yang memenuhi pada submodul, yaitu, setiap kaidah submodul ditingkatkan sebagai stasioner setelah banyak langkah. Secara ekuivalen, setiap submodul dibangkitkan secara hingga.

Artinian

adalah modul yang memenuhi pada submodul, yaitu, setiap kaidah submodul turun sebagai stasioner setelah banyak langkah.

Gradasi

Sebuah adalah modul dengan dekomposisi sebagai jumlah langsung M = ⨁ _x M _x Gelanggang bertingkat atas R = ⨁ _x R _x sedemikian rupa sehingga R _x M _y ⊂ M _{x + y} untuk semua x dan y .

Seragam

Sebuah adalah modul dimana semua pasangan submodul bukan nol memiliki persimpangan bukan nol.

Jika ${\displaystyle R}$ adalah gelanggang komutatif dan ${\displaystyle A}$ adalah aljabar asosiatif- R , maka adalah modul kiri - ${\displaystyle A}$ dengan modul- ${\displaystyle R}$ pada ${\displaystyle M}$ bersama dengan modul homomorfisme- ${\displaystyle R}$

${\displaystyle A\otimes _{R}M\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,}$

dirumuskan sebagai

${\displaystyle a_{1}(a_{2}m)=(a_{1}a_{2})m}$ untuk ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,m\in M}$

gilt.

Modul kanan - ${\displaystyle A}$ adalah modul- ${\displaystyle R}$ pada ${\displaystyle M}$ bersama dengan modul homomorfisme- ${\displaystyle R}$

${\displaystyle M\otimes _{R}A\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,}$

dirumuskan sebagai

${\displaystyle (ma_{1})a_{2}=m(a_{1}a_{2})}$ für ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,m\in M}$

gilt.

Modul gabungan dan bimodul didefinisikan secara analogi dengan kasus gelanggang.

• Aljabar (teori gelanggang)

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001) [1994], , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Why is it a good idea to study the modules of a ring ? on
• module di