Ensiklopedia

Dalam teori himpunan , gabungan ( bahasa Inggris : union ) dari koleksi himpunan adalah himpunan semua anggota dalam koleksi. ^{[ 1 ]} Gabungan merupakan salah satu operasi dasar, yang dapat menggabungkan atau mengaitkan anggota himpunan ke anggota himpunan lain. Gabungan dilambangkan dengan ∪.

Untuk penjelasan tentang penggunaan simbol lebih lanjut, lihat tabel dari simbol matematika

Gabungan dari himpunan ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ adalah himpunan anggota yang berada di ${\displaystyle A}$ , atau ${\displaystyle B}$ , atau bahkan kedua-duanya. ^{[ 2 ]} Gabungan dari dua himpunan tersebut dituliskan dalam notasi ungkapan himpunan . ^{[ 3 ]} $${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ atau }}x\in B\}.}$$ Sebagai contoh, jika ${\displaystyle A=\{1,3,5,7\}}$ dan ${\displaystyle B=\{1,2,4,6,7\}}$ , maka ${\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}}$ . Contoh yang lebih rumit (meliputi dua himpunan tak terhingga) adalahː $${\displaystyle A=\{x{\text{ adalah bilangan bulat genap yang lebih besar daripada 1}}\}}$$ $${\displaystyle B=\{x{\text{ adalah bilangan bulat ganjil yang lebih besar daripada 1}}\}}$$ $${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}.}$$

Contoh lainnya, 9 tidak termasuk dalam gabungan dari himpunan bilangan prima ${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\dots \}}$ dan juga himpunan dari bilangan genap ${\displaystyle \{2,4,6,8,10.\dots \}}$ , sebab 9 bukanlah bilangan prima ataupun bilangan genap.

Himpunan tidak mempunyai anggota identik yang muncul lebih dari satu kali, ^{[ 3 ]} karena itu gabungan dari ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ dan ${\displaystyle \{2,3,4\}}$ adalah ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$ . Banyaknya kemunculan anggota yang identik tersebut tidak mempengaruhi kardinalitas himpunan ataupun isi himpunannya.

Gabungan biner adalah operasi asosiatif . Hal ini berarti bahwa untuk setiap himpunan ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , dan ${\displaystyle C}$ , berlaku $${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$

Pada rumus di atas, tanda kurung dapat dihilangkan dalam rangka untuk menghindari keambiguan, sehingga dapat ditulis juga sebagai ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ . Gabungan merupakan operasi komutatif , sehingga himpunan bisa ditulis dalam setiap urutan. ^{[ 4 ]} Himpunan kosong adalah anggota identitas untuk operasi gabungan, dalam artian bahwa ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$ , untuk setiap himpunan ${\displaystyle A}$ . Secara analogi, semua sifat-sifat tersebut diikuti dari logika disjungsi .

Adapun sifat aljabar lainnya, yakni irisan distribusi atas gabungan $${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),}$$ dan gabungan distribusi atas irisan ^{[ 5 ]} $${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$ Himpunan kuasa dari himpunan ${\displaystyle U}$ , beserta operasi-operasinya, seperti gabungan, irisan, dan komplemen , merupakan aljabar Boole . Dalam aljabar Boole, gabungan dapat dinyatakan dengan rumus yang mengandung operasi irisan dan komplemen. $${\displaystyle A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},}$$ dengan superskrip C melambangkan komplemen dalam himpunan semesta ${\displaystyle U}$ .

Beberapa himpunan dapat diambil secara serentak. Sebagai contoh, gabungan dari tiga himpunan ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , dan ${\displaystyle C}$ mengandung semua anggota dari ${\displaystyle A}$ , semua anggota dari ${\displaystyle B}$ , dan semua anggota dari ${\displaystyle C}$ , dan tidak ada lagi. Dengan demikian, ${\displaystyle x}$ adalah anggota dari ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle x}$ setidaknya ada di dalam salah satu himpunan ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , dan ${\displaystyle C}$ .

Gabungan terhingga adalah gabungan dari jumlah terbatas pada himpunan-himpunan; ungkapan tidak menyiratkan bahwa gabungan himpunan adalah . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Gagasan yang paling umum adalah gabungan dari koleksi himpunan sebarang, yang kadangkala disebut gabungan tak terhingga . Jika ${\displaystyle \mathbf {M} }$ adalah himpunan atau kelas yang anggotanya ada di himpunan, maka ${\displaystyle x}$ adalah gabungan dari ${\displaystyle \mathbf {M} }$ jika dan hanya jika setidaknya ada satu anggota ${\displaystyle A}$ dari ${\displaystyle \mathbf {M} }$ sehingga ${\displaystyle x}$ anggota dari ${\displaystyle A}$ . ^{[ 8 ]} Ini dapat ditulis dengan menggunakan simbol $${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \exists A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$$ Gagasan ini menggolongkan bagian sebelumnya, sebagai contoh, ${\displaystyle A\cup B\cup C}$ adalah gabungan dari koleksi ${\displaystyle \{A,B,C\}}$ . Juga, jika ${\displaystyle \mathbf {M} }$ adalah koleksi kosong, maka gabungan dari ${\displaystyle \mathbf {M} }$ adalah himpunan kosong

Notasi untuk konsep yang umum sangat bervariasi. Untuk gabungan terhingga dari himpunan ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}}$ , acapkali ditulis sebagai ${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}}$ atau $${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}.}$$ Terdapat bermacam-macam notasi untuk gabungan sembarang, seperti ${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$ , ${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$ , atau ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ , yang mengacu pada gabungan dari koleksi ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$ , dengan ${\displaystyle I}$ adalah himpunan indeks , dan ${\displaystyle A_{i}}$ adalah himpunan untuk ${\displaystyle i\in I}$ . Terdapat sebuah kasus bahwa untuk himpunan indeks ${\displaystyle I}$ yang merupakan himpunan bilangan asli , dapat menggunakan notasi $${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i},}$$ yang mirip seperti jumlah tak terhingga dalam deret. ^{[ 8 ]}

• , gabungan dari himpunan dari benang.
• Irisan (teori himpunan)
• Beda setangkup

• Hazewinkel, Michiel , ed. (2001) [1994], , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Infinite Union and Intersection at ProvenMath Diarsipkan 2023-01-07 di Wayback Machine . De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.